中考复习冲刺系列——纯几何压轴选解（4）——正方形及相关问题
声明：“初中数学延伸课堂”的所有文章，版权所有。欢迎并感谢朋友们分享和转发，但未经许可，不得在任何公共场合使用、开发及转载，违者必究！
建议阅读：
（如同“百度”）
几何画板教学视频免费教程（622分钟）：关注公众号（扫描上述二维码）后，输入“1”就可得到学习地址（需手机注册——免费）.至2018.6.2日止，观看情况如下：
（已超过9500小时的播放量.若您已在学习中，记得给个评价.本人开设的QQ现场直播群(178733124)正在进行中。如果您觉得会给您的教与学带来益处，请将本公众号分享.）
【试题】已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B1处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB1的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“BE/CE＝x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围．
【图文解析】
（1）利用平行线分线段成比例定理或相似的性质，可得到比例线段，进一步可求出CF的值；如下图示：
具体过程如下：
∵AB∥DF，∴AB/CF＝BE/CE，
∵BE=2CE，AB=3，
∴3/CF＝2CE/CE，∴CF=3/2.
（2）本题要分两种方法讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上．分别运用勾股定理或相似求出与之相联的线段；
①当点E在线段BC上，如下图示：
对折（即对称极易得到等腰），可添加如下图的辅助线（常用），则不难得到：
在Rt△ADM中，由勾股定理，可得AD2+DM2=AM2，即：
32+x2=（9/2﹣x）2，
解得x=5/4 ,从而AM=13/4.
所以sin∠DAB1=DM/AM＝5/13.
当然，也可这样处理：
②当点E在边BC的延长线上，如下图示：
解法类似，如下图示：
（3）本题分两种情况讨论：
①若点E在线段BC上，此时x>0
如下图示：
此时由BE/CE＝x可得BE＝x/(x+1)×BC＝3x/(x+1)=B1E,所以所求的面积y=S△ABE，即：
(坚持写解题文章也不容易，您的点赞给予我的是信心，您的分享给予我的是动力。别忘了，给作者一个鼓励，点个赞哦！)
下面还有，继续……
由CE∥AD得△CEF∽△DAF，得到DF/CF＝AD/CE＝BC/CE，由BE/CE＝x得BC/CE＝ (x-1)，所以：
DF/CF＝(x-1)，DF
＝CD×(x-1)/x
＝3(x-1)/x，
所以y=S△ADF＝0.5AD×DF
【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质以及勾股定理等相关知识的综合运用，注意分类讨论．
【拓展1】续第3问，当AD平分∠EAB1时，求x的值.
【拓展2】续第3问，连接CB1，当CB1的长最小时，求x的值.
（这两小题不难，不提供思路，有兴趣的朋友，可以试试！）
(别忘了给作者一个鼓励，点个赞哦！)
特别说明：进入公众号，回复“1,2,3…14,888”中的任意一个”数“，可查找到相应资料.
强烈推荐：
《顶尖中考微专题》例、习题视频讲解(共1487分钟)—与书配套视频